Несходимость — отсутствие конечного предела (суммы, значения). Иными словами, сходимость подразумевает тот факт, что какой бы мизерный «коридор» мы ни рассмотрели – всегда найдётся частичная сумма , график которой ПОЛНОСТЬЮ окажется внутри «коридора», т.е. будет отличаться от точной суммы по модулю меньше, чем на установленное нами значение (эпсилон). 

Причины несходимости:

1.1. Неправильный выбор параметров: Один из основных факторов, приводящих к несходимости - это неправильный выбор параметров метода. Например, слишком большой шаг интегрирования или неверные начальные условия могут привести к тому, что численный метод расходится.

1.2. Плохо обусловленные задачи: Некоторые задачи могут быть плохо обусловленными, что делает их трудными для численного решения. В таких случаях даже хорошие численные методы могут не справиться с задачей, и решение может расходиться.

Пример кода на Python

Для иллюстрации проблемы несходимости давайте рассмотрим пример численного метода решения уравнения Фибоначчи, который может столкнуться с проблемой несходимости.

def fibonacci(n):
    a, b = 0, 1
    for _ in range(n):
        a, b = b, a + b
        if a > 1000:
            break
    return a

result = fibonacci(1000)
print(result)

В данном примере мы пытаемся вычислить 1000-е число Фибоначчи. Однако, из-за ограниченности точности представления чисел с плавающей запятой в Python, этот код может привести к переполнению и несходимости. Это связано с тем, что числа Фибоначчи растут экспоненциально, и при достижении определенного значения происходит потеря точности.

Решение проблемы

3.1. Подбор параметров: Важно внимательно выбирать параметры численных методов, такие как шаг интегрирования, чтобы избежать несходимости. Регулярное тестирование с различными значениями параметров может помочь найти оптимальные настройки.

3.2. Улучшенные методы: В некоторых случаях может потребоваться использование более сложных и улучшенных численных методов, способных справляться с плохо обусловленными задачами.

3.3. Большая точность: При работе с задачами, требующими высокой точности, важно использовать высокоточные арифметические операции или библиотеки, специально предназначенные для работы с большими числами.

Несходимость является серьезной проблемой в численных методах, которую необходимо учитывать при решении различных задач. Выбор правильных параметров, использование улучшенных методов и повышение точности могут помочь преодолеть проблемы несходимости и получить стабильные результаты при численном решении задач.